lunes, 18 de noviembre de 2019
HIPERBOLA
Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos del plano, llamados focos es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los puntos.
PARTRES DE LA HIPERBOLA.
TEOREMA.
*ECUACION ORDINARIA DE LA HIPERBOLA
La ecuacion de la hiperbola de centro en el origen, eje focal, coincida con el eje "x" los focos F(0,c) , F'(-c , 0) . V(a.0) V'(-a,0) y A(0,b) A'(0, -b)
Si el el eje focal coincide con el eje "y" los focos F(0,c) , F'(0,-c) . V(0,a) V'(0,-a) y A(b,0) A'(-b,0)
a=Longitud del semieje transverso
b= Longitud del semieje conjugado
c= Distancia del centro a cada foco
Donde
c^2= a^2 + b^2
LL'= 2b^2/a Lado Recto
VV'= 2a Eje transversal
FF'= 2c Eje focal
AA'= 2b Eje conjugado
e= c/a
EJEMPLO:
Sean V(0,3) , V'(0,-3) vertices de una hiperbola y tiene como focos f(0,5) , f'(0,-5)
*PARALELO "Y"*
VV'= d = 2a = 6
d = 6
FF'= d = 2c= 10
10 = 2c
c= 5
b=√c^2 - a^2
b = 4
LL' = 32/3
AA'= 8 A(4,0) A'(-4,0)
e= 5/3
PARTRES DE LA HIPERBOLA.
TEOREMA.
*ECUACION ORDINARIA DE LA HIPERBOLA
La ecuacion de la hiperbola de centro en el origen, eje focal, coincida con el eje "x" los focos F(0,c) , F'(-c , 0) . V(a.0) V'(-a,0) y A(0,b) A'(0, -b)
Si el el eje focal coincide con el eje "y" los focos F(0,c) , F'(0,-c) . V(0,a) V'(0,-a) y A(b,0) A'(-b,0)
a=Longitud del semieje transverso
b= Longitud del semieje conjugado
c= Distancia del centro a cada foco
Donde
c^2= a^2 + b^2
LL'= 2b^2/a Lado Recto
VV'= 2a Eje transversal
FF'= 2c Eje focal
AA'= 2b Eje conjugado
e= c/a
Sean V(0,3) , V'(0,-3) vertices de una hiperbola y tiene como focos f(0,5) , f'(0,-5)
*PARALELO "Y"*
VV'= d = 2a = 6
d = 6
FF'= d = 2c= 10
10 = 2c
c= 5
b=√c^2 - a^2
b = 4
LL' = 32/3
AA'= 8 A(4,0) A'(-4,0)
e= 5/3
A continuacion un video para tu comodidad.
SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.
TEOREMA
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslacion y una rotacion, tomados en cualquier orden y las coordenadas de cualquier punto "P" referido a los sistemas originales y final son: (x,y) y (x'',y'') respectivamente por la cual las ecuaciones de transformacion del sistema original al nuevo sistema son:
Por transformacion de coordenadas, simplificar la ecuacion 3x^2-2xy+3y^2-2x-10y+9=0.
Por lo tanto trasladamos para encontrar (h,k)
3(x'+h)^2-2(x'+h)(y'+k)+3(y'+k)^2-2(x'+h)-10(y'+k)+9=0
3(x'^2+2x'h+h?2)-2(x'y'+x'k+hy'+hk)+3(y'^2+2y'k+k^2-2x'-2h-10y'-10k)+9=0
3x'^2+6x'h+3h^2-2x'y'+2x'k+2hy'+2hk+3y'^2+6y'k+3k^2-2x'-2h-10y'-10k+9=0
3x'^2+3h^2-2x'y'+2hk+3y'^2+3k^2-2h-10k+9+x'(6h-2k-2)+y'(-23h+6k-10)=0
Se construye un sistema de ecuaciones para encontrar (h,k)
6h-2k=2.........1
-2h+6k=10......2
Multiplicamos por un 3 a la ecuación 2 para eliminar h y de esa formar saber el valor de k.
Entonces...
6h-2k=2
+ 3(-6h+18k=30)
------------------------
0 + 16k= 32
k=32/16
k= 2
6h-2(2)=2
6h-4=2
6h=6
h= 6/6
h= 1
Para encontrar la nueva ecuación, sustituir h=1 k=2
3x'^2+3h^2-2x'y'+2(h)(k)+3y`^2+3k^2-2h-10k+9=0
3x'^2+3(1)^2-2x'y'-2(1)(2)+3y`^2+3(2)^2-2(1)-10(2)+9=0
3x`^2+3-2x'y'-4+3y'^2+12-2-20+9=0
3x'^2-2x'y'+3y'^2-2=0 ⇐ Nueva ecuación.
3[x''Cosθ)^2+2(x''Cosθ)(-y''Senθ)+(-ySenθ)^2]-2[x''^2SenθCosθ+x''y''Cos^2θ-x''y''Sen^2θ-y''^2SenθCosθ] +3[(x''Senθ)(y''Cosθ)+(y''Cosθ)^2)]-2=0
3x''^2Cos^2θ-2x''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+3y''^2Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ+x''y''[-6SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0
3x''^2-2x''^2SenθCosθ+3y''^2+2y''^2SenθCosθ+X''y''[-2Cos^2θ+2Sen^2θ]-2=0
-2Cos^2θ+2Sen^2θ=0
2Sen^2θ=2Cos^2θ
Sen^2θ
--------- = 1
Cos^2θ
Tan^2θ=1
SUSTITUIMOS
3x''^2-2x''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)Cos(45º)=2
3x'^2-2x''^2(√2/2)(√2/2)+3y''^2+2y''^2(1/2)=2
3x''^2-x''^2+3y''^2+y''^2=2
2x''^2+4y''^2=2
x''^2 y''^2
b^2=1
a^2=2
c=1
Concluimos con una gráfica.
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslacion y una rotacion, tomados en cualquier orden y las coordenadas de cualquier punto "P" referido a los sistemas originales y final son: (x,y) y (x'',y'') respectivamente por la cual las ecuaciones de transformacion del sistema original al nuevo sistema son:
Para esto se utiliza:
x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ
Para esto se utilizara:
x' = (x'' Cos θ -y'' Sen θ) + h y' = (x'' Sen θ+ y'' Cos θ) + k
x' = (x'' Cos θ -y'' Sen θ) + h y' = (x'' Sen θ+ y'' Cos θ) + k
EJEMPLO 1
Por transformacion de coordenadas, simplificar la ecuacion 3x^2-2xy+3y^2-2x-10y+9=0.
Sabemos que:
x= x'+h y = y'+kPor lo tanto trasladamos para encontrar (h,k)
3(x'+h)^2-2(x'+h)(y'+k)+3(y'+k)^2-2(x'+h)-10(y'+k)+9=0
3(x'^2+2x'h+h?2)-2(x'y'+x'k+hy'+hk)+3(y'^2+2y'k+k^2-2x'-2h-10y'-10k)+9=0
3x'^2+6x'h+3h^2-2x'y'+2x'k+2hy'+2hk+3y'^2+6y'k+3k^2-2x'-2h-10y'-10k+9=0
3x'^2+3h^2-2x'y'+2hk+3y'^2+3k^2-2h-10k+9+x'(6h-2k-2)+y'(-23h+6k-10)=0
Se construye un sistema de ecuaciones para encontrar (h,k)
6h-2k=2.........1
-2h+6k=10......2
Multiplicamos por un 3 a la ecuación 2 para eliminar h y de esa formar saber el valor de k.
Entonces...
6h-2k=2
+ 3(-6h+18k=30)
------------------------
0 + 16k= 32
k=32/16
k= 2
Sustituimos k=2 en la ecuación 1 para obtener el valor de h.
6h-2(2)=2
6h-4=2
6h=6
h= 6/6
h= 1
Coordenadas (h,k) son = (1 , 2)
Para encontrar la nueva ecuación, sustituir h=1 k=2
3x'^2+3h^2-2x'y'+2(h)(k)+3y`^2+3k^2-2h-10k+9=0
3x'^2+3(1)^2-2x'y'-2(1)(2)+3y`^2+3(2)^2-2(1)-10(2)+9=0
3x`^2+3-2x'y'-4+3y'^2+12-2-20+9=0
3x'^2-2x'y'+3y'^2-2=0 ⇐ Nueva ecuación.
Usando el teorema de rotacion:
x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ
Sustituir x' , y' en la nueva ecuacion.
3(x''-cosθ-y''senθ)^2-2[(x''Cosθ-y''Senθ)(x''Senθ+y''Cosθ]+3(x''Senθ+y''Cosθ)^2-2=03[x''Cosθ)^2+2(x''Cosθ)(-y''Senθ)+(-ySenθ)^2]-2[x''^2SenθCosθ+x''y''Cos^2θ-x''y''Sen^2θ-y''^2SenθCosθ] +3[(x''Senθ)(y''Cosθ)+(y''Cosθ)^2)]-2=0
3x''^2Cos^2θ-6x''y''SenθCosθ+3y''^2Sen^2θ-2x''^2SenθCosθ-2x''y''Cos^2θ+2x''y''Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+6x''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ-2=0
3x''^2Cos^2θ-2x''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+3y''^2Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ+x''y''[-6SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0
3x''^2[Cos^2θ+Sen^2θ]-2x''^2SenθCosθ+3y''^[2Sen^2θCos^2θ+2y''^2]+2y''^2SenθCosθ+x''y''[-SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0
3x''^2-2x''^2SenθCosθ+3y''^2+2y''^2SenθCosθ+X''y''[-2Cos^2θ+2Sen^2θ]-2=0
-2Cos^2θ+2Sen^2θ=0
2Sen^2θ=2Cos^2θ
Sen^2θ=Cos^2θ(1)
Sen^2θ
--------- = 1
Cos^2θ
Tan^2θ=1
Tanθ=√1
SUSTITUIMOS
3x''^2-2x''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)Cos(45º)=2
3x'^2-2x''^2(√2/2)(√2/2)+3y''^2+2y''^2(1/2)=2
3x''^2-x''^2+3y''^2+y''^2=2
2x''^2+4y''^2=2
x''^2 y''^2
------ + ----- = 1 (Elipse)
1 2
b^2=1
a^2=2
c=1
Concluimos con una gráfica.
A continuación unos vídeos para una mayor retroalimentacion, continuación del tema anterior.
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
La recta cuyas intersecciones son los ejes X y Y son "A" distinto de 0 (cero), A distinto de 0 y B distinto de 0 respectivamente, tienen por ecuacion la siguiente.
X Y
------- + ------ = 1
a b
COROLARIO.
La condicion necesaria y suficiente para que 2 rectss sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea -1.
- EJEMPLO 1 :
Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (-3 , 1) y es paralela a la recta determinada por los 2 puntos (0 , -2) y ( 5,2).
y - y1= m (x - x1)
y2 - y1 2 - (-2) 2 + 2 4
m= ----------- = ----------- = --------- = ----
x2 - x1 5 - 0 5 5
5
y - 1 = ---- (x + 3)
4
5y - 5 = 4x + 12
4x + 12 - 5y + 5 = 0
4x - 5y + 17 = 0
- EJEMPLO 2 :
Halla la ecuacion de la mediatriz del segmento (-2 , 1) y (3 , -5)
x1 + x2 y1 + y2
x= ----------- y = ----------
2 2
-2 + 3 1 1 - 5 -4
x= --------- = ---- y= ------- = ----
2 2 2 2
-5 -1 6
m= ------- = - ---
3 + 2 5
5 1
y + 2 = ---- (x - --- )
6 2
y + 2 = 5x - 5
-------
12
12y + 24 = 5x - 5
5x - 5 - 12y - 24 = 0
5x - 12y -29 = 0
A continuacion estos videos muestran como pasar la ecuacion general a simetrica
X Y
------- + ------ = 1
a b
COROLARIO.
La condicion necesaria y suficiente para que 2 rectss sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea -1.
- EJEMPLO 1 :
Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (-3 , 1) y es paralela a la recta determinada por los 2 puntos (0 , -2) y ( 5,2).
y - y1= m (x - x1)
y2 - y1 2 - (-2) 2 + 2 4
m= ----------- = ----------- = --------- = ----
x2 - x1 5 - 0 5 5
5
y - 1 = ---- (x + 3)
4
5y - 5 = 4x + 12
4x + 12 - 5y + 5 = 0
4x - 5y + 17 = 0
- EJEMPLO 2 :
Halla la ecuacion de la mediatriz del segmento (-2 , 1) y (3 , -5)
x1 + x2 y1 + y2
x= ----------- y = ----------
2 2
-2 + 3 1 1 - 5 -4
x= --------- = ---- y= ------- = ----
2 2 2 2
-5 -1 6
m= ------- = - ---
3 + 2 5
5 1
y + 2 = ---- (x - --- )
6 2
y + 2 = 5x - 5
-------
12
12y + 24 = 5x - 5
5x - 5 - 12y - 24 = 0
5x - 12y -29 = 0
A continuacion estos videos muestran como pasar la ecuacion general a simetrica
domingo, 17 de noviembre de 2019
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO.
SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO.
Un punto "p" en el espacio tiene una y solamente una coordenada (x,y,z) relativa a un sistema coordenado rectangular especifico.
Ejemplo
Ubica los puntos.
P(-3,-5,3)
Q(3,4,-2)
Distancia entre 2 puntos en el espacio.
Teorema:Sea D la diustancia entre 2 puntos P(x1,y1,z1) y Q (x2,y2,z2) la distancia esta dada por la siguiente formula:
Division de un segmento.
Teorema:
Si P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2) son los extremos de 1 segmento, las coordenadas (x,y,z) le pertenecen a un punto "s" el cual divide al segmento PQ.
CONOCEMOS LA RAZON PERO NO CONOZCO EL PUNTO S(X,Y,Z)
X= X1+rX2 Y= Y1 + rY2 Z= Z1 + rZ2
----------- ------------ ------------
1 + R 1 + r 1 + r
d1= √(-1-2)^2+(1--1)+(2-3)^2 = 8
d2= √(1--1)^2+(5-1)^2+(-2-2)^2 = 34
d3= √(2-1)^2+(-1-5)^2+(3-2)^2= 62
Un punto "p" en el espacio tiene una y solamente una coordenada (x,y,z) relativa a un sistema coordenado rectangular especifico.
Ejemplo
Ubica los puntos.
P(-3,-5,3)
Q(3,4,-2)
Distancia entre 2 puntos en el espacio.
Teorema:Sea D la diustancia entre 2 puntos P(x1,y1,z1) y Q (x2,y2,z2) la distancia esta dada por la siguiente formula:
d= √(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2
Teorema:
Si P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2) son los extremos de 1 segmento, las coordenadas (x,y,z) le pertenecen a un punto "s" el cual divide al segmento PQ.
CONOCEMOS LA RAZON PERO NO CONOZCO EL PUNTO S(X,Y,Z)
X= X1+rX2 Y= Y1 + rY2 Z= Z1 + rZ2
----------- ------------ ------------
1 + R 1 + r 1 + r
CONOCEMOS S(X,Y,Z) PERO NO A "r"
r= X - X1 r= Y - Y1 r= Z - Z1
r= X - X1 r= Y - Y1 r= Z - Z1
---------- --------- ----------
X2 - X Y2 - Y Z1 - Z
NOS DICE QUE S(X,Y,Z) ES PUNTO MEDIO, ENTONCES r = 1X= X1 + X2 Y = Y1 + Y2 Z= Z1 + Z2
------------ ------------ -----------
2 2 2
2 2 2
EJEMPLO 1
Ubica los puntos en el espacio.
A(2,0,-1) B(4,-3,7) c(-5,-9,2) D(3,-2-4) E(0,-3,-9) F(-7,5,-6)
Ubica los puntos en el espacio.
A(2,0,-1) B(4,-3,7) c(-5,-9,2) D(3,-2-4) E(0,-3,-9) F(-7,5,-6)
EJEMPLO 2
Traza el siguiente triangulo con coordenadas A(2,-1,3) B(-1,1,2) C(1,5,-2)
d1= √(-1-2)^2+(1--1)+(2-3)^2 = 8
d2= √(1--1)^2+(5-1)^2+(-2-2)^2 = 34
d3= √(2-1)^2+(-1-5)^2+(3-2)^2= 62
x= 1+ (-3) 2 y = 5+ (-3) (-1) z= -2+(-3)(3)
------- = 2.5 -------------- = -1 ------------- = -5.5
------- = 2.5 -------------- = -1 ------------- = -5.5
1+ (-3) 1+(-3) 1 + (-3)
PUNTO (2.5,-1,-5.5)
COORDENADAS POLARES.
En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar, el punto fijo se llama "polo". El punto "p" es ubicado si solo si se conoce cA θ donde son conocidas como coordenadas polares de "P" primero se escribe el radio, vector y luego el angulo.
Donde: x= rCosθ y= rSenθ
Donde OA= Eje polar
O= Polo
P= Punto Cualquiera
r= Longitud o radio vector
AOP = Forma del angulo
θ = Angulo polar, angulo vectorial o argumento de P
Para ello hacemos uso de lo siguiente:
Esto es importante, ya que debemos saber la ubicación de los ángulos.
EJEMPLO 1
Ubica los siguientes puntos en el eje polar.
P(4,π/6) Nota: El inverso de un angulo, lo calculamos como:
Q(6,2) θ= θ+π ፀ= ፀ+180º
R(-7,75º)
S(5, 7π/4)
Transformar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.
TEOREMA
Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden respectivamente con el origen y la parte positiva del eje "x" de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de una de otra de estos 2 sistemas puede efectuarse por modo de las siguientes formulas.
x= r Cos ፀ r^2= x^2 + y^2 r= +-√x^2 + y^2 Cos θ=+- x/ √ x^2 + y^2
y= r Senፀ ፀ= tan -1 y/x Sen ፀ = +- y/ √x^2 + y^2
EJEMPLO 2
Hallar las coordenadas rectangulares de P, cuyas coordenadas polares son ( 4 , 120º )
Datos Formula Sustitucion Operacion Resultado
r = 4 x= r Cos θ x= 4 Cos (120º) x= -2 p(-2, 2√3)
θ = 120 y= r Sen θ y= 4 Sen (120º) y= 2√3
EJEMPLO 3
Hallar la ecuacion polar del lugar geometrico cuya ecuacion es:
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1= 0
Solucion r^2
Sabemos que: r^2= x^2 + y^2
x= r Cos θ
y= r Sen θ
Sustituimos la ecuacion Original:
r^2- 4(rCosθ)-2(Senθ)+1= 0
EJEMPLO 4
Transformar la ecuacion rectangular a polar.
2x^3+2y^2+2x-6y+3=0
Sabemos que:
r^2= x^2 + y^2
x= r Cos θ
y= r Sen θ
2(rCosθ)^3+2(rSenθ)^2+2(rCosθ)-6(rCosθ)+3=0
Ejemplo 5
Transformar la ecuacion de rectangular a polar.
x^2 - y^2 = 9
(rCosθ)^2-(rSenθ)^2= 9
r^2(Cosθ)^2-r^2(Sen θ)^2= 9
r(Cosθ)^2 - r(Senθ)^2= 9
r(Cosθ)^2-(Senθ)^2= 9
9
r= ------------------------------
(Cosθ)^2 - (Senθ)^2
A continuación un vídeo, el cual explica de manera mas especifica los pasos en los ejemplos leídos anteriormente.
Donde: x= rCosθ y= rSenθ
Donde OA= Eje polar
O= Polo
P= Punto Cualquiera
r= Longitud o radio vector
AOP = Forma del angulo
θ = Angulo polar, angulo vectorial o argumento de P
Para ello hacemos uso de lo siguiente:
Esto es importante, ya que debemos saber la ubicación de los ángulos.
EJEMPLO 1
Ubica los siguientes puntos en el eje polar.
P(4,π/6) Nota: El inverso de un angulo, lo calculamos como:
Q(6,2) θ= θ+π ፀ= ፀ+180º
R(-7,75º)
S(5, 7π/4)
Transformar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.
TEOREMA
Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden respectivamente con el origen y la parte positiva del eje "x" de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de una de otra de estos 2 sistemas puede efectuarse por modo de las siguientes formulas.
x= r Cos ፀ r^2= x^2 + y^2 r= +-√x^2 + y^2 Cos θ=+- x/ √ x^2 + y^2
y= r Senፀ ፀ= tan -1 y/x Sen ፀ = +- y/ √x^2 + y^2
EJEMPLO 2
Hallar las coordenadas rectangulares de P, cuyas coordenadas polares son ( 4 , 120º )
Datos Formula Sustitucion Operacion Resultado
r = 4 x= r Cos θ x= 4 Cos (120º) x= -2 p(-2, 2√3)
θ = 120 y= r Sen θ y= 4 Sen (120º) y= 2√3
EJEMPLO 3
Hallar la ecuacion polar del lugar geometrico cuya ecuacion es:
x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1= 0
Solucion r^2
Sabemos que: r^2= x^2 + y^2
x= r Cos θ
y= r Sen θ
Sustituimos la ecuacion Original:
r^2- 4(rCosθ)-2(Senθ)+1= 0
EJEMPLO 4
Transformar la ecuacion rectangular a polar.
2x^3+2y^2+2x-6y+3=0
Sabemos que:
r^2= x^2 + y^2
x= r Cos θ
y= r Sen θ
2(rCosθ)^3+2(rSenθ)^2+2(rCosθ)-6(rCosθ)+3=0
Ejemplo 5
Transformar la ecuacion de rectangular a polar.
x^2 - y^2 = 9
(rCosθ)^2-(rSenθ)^2= 9
r^2(Cosθ)^2-r^2(Sen θ)^2= 9
r(Cosθ)^2 - r(Senθ)^2= 9
r(Cosθ)^2-(Senθ)^2= 9
9
r= ------------------------------
(Cosθ)^2 - (Senθ)^2
A continuación un vídeo, el cual explica de manera mas especifica los pasos en los ejemplos leídos anteriormente.
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS DE COORDENADAS POLARES.
Sean P la coordenada (r1,θ1) y Q(r2, θ2) 2 puntos cuales quieran en un eje polar, su distancia esta dada por la siguiente formula
d=√r1^2+r2^2-2(r1)(r2)Cos( θ1-θ2)
Ejemplo 1
Demostrar que las coordenadas siguientes son vertices de un triangulo.
A(3,π/6) = (3,30º)
B(7,π/3) = (7,60º)
C(3,π/2) = (3,90º)
d = AB = √9+49-2(3)(7)*Cos(30º-60º) = 4.65
d = BC = √49+9-2(7)(3)*Cos(60º-30º) = 4.65
d = CA = √9+9-2(3)(3)*Cos(90º-30º) = 3
EJEMPLO 2
A(0,90º)
B(1,60º)
C(2,45º)
D(3,0º)
d = AB = √0+1-2(0)(1)*Cos(90º-60º)= 1
d = BC = √1+4-2(1)(2)*Cos(60º-45º)= 1.06
d = CD = √4+9-2(2)(3)*Cos(45º-0º)= 2.12
d = CA = √9+0-2(3)(0)*Cos(0º-90º) = 3
Ejemplo 3
A(1,60º)
B(√6,30º)
C(1,0º)
d = AB = √1+3-2(1)(√3)*Cos(60º-30º) = 1
d = BC = √3+1-2(√3)(1)*Cos(30º-0º) = 1
d = CA = √1+1-2(1)(1)*Cos(0º-60º) = 1
A continuacion, los siguientes videos te podran brindar mayor proporcion de conocimientos sobre este tema.
d=√r1^2+r2^2-2(r1)(r2)Cos( θ1-θ2)
Ejemplo 1
Demostrar que las coordenadas siguientes son vertices de un triangulo.
A(3,π/6) = (3,30º)
B(7,π/3) = (7,60º)
C(3,π/2) = (3,90º)
d = AB = √9+49-2(3)(7)*Cos(30º-60º) = 4.65
d = BC = √49+9-2(7)(3)*Cos(60º-30º) = 4.65
d = CA = √9+9-2(3)(3)*Cos(90º-30º) = 3
EJEMPLO 2
A(0,90º)
B(1,60º)
C(2,45º)
D(3,0º)
d = AB = √0+1-2(0)(1)*Cos(90º-60º)= 1
d = BC = √1+4-2(1)(2)*Cos(60º-45º)= 1.06
d = CD = √4+9-2(2)(3)*Cos(45º-0º)= 2.12
d = CA = √9+0-2(3)(0)*Cos(0º-90º) = 3
Ejemplo 3
A(1,60º)
B(√6,30º)
C(1,0º)
d = AB = √1+3-2(1)(√3)*Cos(60º-30º) = 1
d = BC = √3+1-2(√3)(1)*Cos(30º-0º) = 1
d = CA = √1+1-2(1)(1)*Cos(0º-60º) = 1
A continuacion, los siguientes videos te podran brindar mayor proporcion de conocimientos sobre este tema.
domingo, 10 de noviembre de 2019
ROTACIÓN DE EJES
Es una aplicacion de los puntos de un sistema de coordenadas cartesianas ( x , y ) sobre los puntos de un swgundo sistema de coordenadas cartesianas denominado (x' , y') en el que el origen se mantiene fijo. Los ejes X' y Y' se obtiene giradno los ejes (x,y) en sentido contrario.
Esto es denominado de la siguiente manera:
* x= x' Cos Ө - y' Sen Ө * y= y' Cos Ө + x' Sen Ө
SOLUCION
* x'= x Cos Ө + y Sen Ө * y'= y Cos Ө - x Sen Ө
Para convertir Grados a Radianes y de Radianes a Grados:
π
Ө= -- = 0º
8
Grados a Radianes Radianes a Grados
- Sea Ө un angulo - Sea x un radian
π 180º
Ө ( ---- ) = radianes x ( ---- ) = Өº
180º π
EJEMPLO 1
Sea x^2-y^2-9=0 una ecuación. Transformar mediante una rotación de 45º de sus originales. Encontrar la nueva ecuacion.
Solucion:
x= [x'Cos 45º] - [y'Sen 45º] = x'√2/2 - y√2/2
y= [x'Cos 45º] y [y'Sen 45º] = x'√2/2 + y√2/2
x= x'√2/2 - y√2/2 y= x'√2/2 + y√2/2
Sustituir x,y en ecuacion original.
(√2x'/2 - y√2y'/2)^2 - (√2x'/2 + √2y'/2)^2 - 9 = 0
[(√2x'/2)^2 -2 (√2x'/2) -(√2y'/2)^2 + (-√2y'/2)^2)] - [(√2y'/2)^2) + 2 (√2x'/2) (√2y'/2) + (√2y'/2)^2-9= 0
(x'/2^2 - x'y' + y'/2) - (x'/2 +x'y'+y'^2/2)-9=0
x'/2^2 - x'y' + y'/2 - x'/2 +x'y'+y'^2/2-9=0
-2x'y'-9= 0
2x'y'+9=0
y'= -9/2x'
x' 丨y'= -9/2x'
-2 2.25
-1 4.5
0 0
1 -4.5
2 -2.25
3 -1.5
4 -1.125
Para concluir se grafica pero en las nuevas coordenadas.
EJEMPLO 2
Transformar la ecuacion 2x'^2+√3xy+y^2=4 girando los ejes a un angulo π/6
SOLUCION:
Transformar π/6 a grados = 30º
x= (x'Cos30º-y'Sen30º) = x'√3/2 - y'/2
y= (x'Cos30º+y'Sen30º) = x'/2 + y'√3/2
Sustituimos X y Y en la ecuacion.
2(√3x'/2-y'^2/2)^2 + √3(x'√3/2-y'/2) (x'/2+y'√3/2)+(x'/2+√3y'/2)^2= 4
2[(√3x'/2)^2+2(√3/2x')(-y'/2)+(-y'/2)^2]+√3(√3x'^2/4+
3x'y'/4-x'y'/4-√3+y'^2+[(x'/2)+2(x'/2)(√3y'^2/2+(√3y'/2)^2]=4
2(3x'^2/4-√3x'y'/2+y'^2)+3x'^2/4+3√3x'y'/4-3√3x'y'-√3x'y'/4-3x'^2/4+x'^2/4+3y'^2/4=4
3x'^2/2-√x'y'+y'^2/2+3x'^2/4+3√3x'y'/4-√3x'y'/4-3y'^2/4+y'^2/4+√3x'y'/2+3y'^2/4=2
1/2(5x'^2+4'^2=4
5x'^2+y'^2=8
Se puede realizar una elipse con la anterior ecuación.
Por lo tanto:
5x^2/8+y^2/8=1
x y
--- + --- = 1
5/8 8
a=2√2 LL'= 2b^2/a = 5√2/16 v(0,√2/2) v'(0,-2√2)
b=√10/4 VV'=2a= 4√2 f(0,√118/4) f'(0,-√118/4
c= 118/4 FF'=2c= √118/2 A(√10/4,0) A'(-√10/4,0)
AA'= 2b= √1'/2
e= c/a= √59/8
Por ultimo. Se grafica en las nuevas coordenadas.
A continuacion un breve video, el complemento del video lo podran encontrar en el siguiente Tema.
Esto es denominado de la siguiente manera:
* x= x' Cos Ө - y' Sen Ө * y= y' Cos Ө + x' Sen Ө
SOLUCION
* x'= x Cos Ө + y Sen Ө * y'= y Cos Ө - x Sen Ө
Para convertir Grados a Radianes y de Radianes a Grados:
π
Ө= -- = 0º
8
Grados a Radianes Radianes a Grados
- Sea Ө un angulo - Sea x un radian
π 180º
Ө ( ---- ) = radianes x ( ---- ) = Өº
180º π
EJEMPLO 1
Sea x^2-y^2-9=0 una ecuación. Transformar mediante una rotación de 45º de sus originales. Encontrar la nueva ecuacion.
Solucion:
x= [x'Cos 45º] - [y'Sen 45º] = x'√2/2 - y√2/2
y= [x'Cos 45º] y [y'Sen 45º] = x'√2/2 + y√2/2
x= x'√2/2 - y√2/2 y= x'√2/2 + y√2/2
Sustituir x,y en ecuacion original.
(√2x'/2 - y√2y'/2)^2 - (√2x'/2 + √2y'/2)^2 - 9 = 0
[(√2x'/2)^2 -2 (√2x'/2) -(√2y'/2)^2 + (-√2y'/2)^2)] - [(√2y'/2)^2) + 2 (√2x'/2) (√2y'/2) + (√2y'/2)^2-9= 0
(x'/2^2 - x'y' + y'/2) - (x'/2 +x'y'+y'^2/2)-9=0
x'/2^2 - x'y' + y'/2 - x'/2 +x'y'+y'^2/2-9=0
-2x'y'-9= 0
2x'y'+9=0
y'= -9/2x'
x' 丨y'= -9/2x'
-2 2.25
-1 4.5
0 0
1 -4.5
2 -2.25
3 -1.5
4 -1.125
Para concluir se grafica pero en las nuevas coordenadas.
EJEMPLO 2
Transformar la ecuacion 2x'^2+√3xy+y^2=4 girando los ejes a un angulo π/6
SOLUCION:
Transformar π/6 a grados = 30º
x= (x'Cos30º-y'Sen30º) = x'√3/2 - y'/2
y= (x'Cos30º+y'Sen30º) = x'/2 + y'√3/2
Sustituimos X y Y en la ecuacion.
2(√3x'/2-y'^2/2)^2 + √3(x'√3/2-y'/2) (x'/2+y'√3/2)+(x'/2+√3y'/2)^2= 4
2[(√3x'/2)^2+2(√3/2x')(-y'/2)+(-y'/2)^2]+√3(√3x'^2/4+
3x'y'/4-x'y'/4-√3+y'^2+[(x'/2)+2(x'/2)(√3y'^2/2+(√3y'/2)^2]=4
2(3x'^2/4-√3x'y'/2+y'^2)+3x'^2/4+3√3x'y'/4-3√3x'y'-√3x'y'/4-3x'^2/4+x'^2/4+3y'^2/4=4
3x'^2/2-√x'y'+y'^2/2+3x'^2/4+3√3x'y'/4-√3x'y'/4-3y'^2/4+y'^2/4+√3x'y'/2+3y'^2/4=2
1/2(5x'^2+4'^2=4
5x'^2+y'^2=8
Se puede realizar una elipse con la anterior ecuación.
Por lo tanto:
5x^2/8+y^2/8=1
x y
--- + --- = 1
5/8 8
a=2√2 LL'= 2b^2/a = 5√2/16 v(0,√2/2) v'(0,-2√2)
b=√10/4 VV'=2a= 4√2 f(0,√118/4) f'(0,-√118/4
c= 118/4 FF'=2c= √118/2 A(√10/4,0) A'(-√10/4,0)
AA'= 2b= √1'/2
e= c/a= √59/8
Por ultimo. Se grafica en las nuevas coordenadas.
A continuacion un breve video, el complemento del video lo podran encontrar en el siguiente Tema.
sábado, 9 de noviembre de 2019
TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS
Es la figura por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otro siguiendo una ley dada y tenemos el siguiente teorema.
TEOREMA
Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O' (h,k) y si las coordenadas de cualquier punto "P" antes y después de la traslación (x,y) y la coordenada (x',y') respectivamente las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son las siguientes: 
Donde P(x' + h , y' + k)
EJEMPLO 1
Transformar la ecuación: x^3-3x^2-y^2+3x+4y-5=0.
Trasladando los ejes en el nuevo origen (1,2) O'(h,k)
Sabemos que:
x= x' + h y= y' + k
Sustituir X y Y en la ecuación.
(y'+1)^3-3(x'+1)^2-(y'+2)^2+3(x'+1)+4(y'+2)-5=0
x'^3 + 3x'^2 + 3x' + 1-3x'^2 - 6x'-3-y'^2-4y'-4+3x'+3+4y'+8-5=0
x'^3-y'^2=0
y'=√x'^3 x│y= √x'^3
2 2.8
3 5.1
4 8
5 11.1
Por ultimo paso, graficar la siguiente funcion.
EJEMPLO 2
Para una traslacion de los ejes coordenados transformar la ecuacion x^2-4y^2+6x+8y+1=0
x= x' + h y= y' + k
(x'+h)^2-4(y'+k)^2+6(x'+h)+8(y'+k)+1=0
x^2+2(x')(h)+h^2-4(y'^2+2(y')(k)+k^2+6x'+6h+8y'+8k=0
x'^2+2x'+h+h^2-4y'^2+2y'k+k^2+6x'+6h+8y'+8k+1=0
x'(-2h+6)-y'(8k-8)+x'^2+h^2-4y'^2-4k^2+6h+8y'+8k+1=0
Despejar "h" y "k"
2h+6=0 8k-8=0
2h=-6 8k=8
h=-6/2 k=8/8
h= -3 k= 1
O' ( -3 , 1 )
Sustituir h y k en la ecuacion
x'(2(-3)+6)-y'(8-8)+x'^2+(-3)^2-4y'^2-4+6(-3)+8+1=0
x'^2-4y'^2-4=0
x'^2-4y'^2=4
x`^2 y'^2
------- - -------- = 1
4 1
Se concluye resolviendo la siguiente hipérbola.
EJEMPLO 3
Encuentra las nuevas coordenadas del punto (4, -2) si el origen se mueve a (-2 , 3)
Solucion
x= x' + h x' = x-h
y= y'+k ⇒ y' =y-k
x'= x-h y'= y-k
x'= 4-(-2) y'= -2-3 P ( 6 , -5 )
x' = 6 y = -5
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LA RECTA
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