SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

  TEOREMA
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslacion y una rotacion, tomados en cualquier orden y las coordenadas de cualquier punto "P" referido a los sistemas originales y final son: (x,y) y (x'',y'') respectivamente por la cual las ecuaciones de transformacion del sistema original al nuevo sistema son:

Para esto se utiliza:

x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ         y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ 

Para esto se utilizara:
x' = (x'' Cos θ -y'' Sen θ) + h         y' = (x'' Sen θ+ y'' Cos θ) + k 

EJEMPLO 1

Por transformacion de coordenadas, simplificar la ecuacion 3x^2-2xy+3y^2-2x-10y+9=0.

Sabemos que:

x= x'+h       y = y'+k

Por lo tanto trasladamos para encontrar (h,k)

3(x'+h)^2-2(x'+h)(y'+k)+3(y'+k)^2-2(x'+h)-10(y'+k)+9=0

3(x'^2+2x'h+h?2)-2(x'y'+x'k+hy'+hk)+3(y'^2+2y'k+k^2-2x'-2h-10y'-10k)+9=0

3x'^2+6x'h+3h^2-2x'y'+2x'k+2hy'+2hk+3y'^2+6y'k+3k^2-2x'-2h-10y'-10k+9=0

3x'^2+3h^2-2x'y'+2hk+3y'^2+3k^2-2h-10k+9+x'(6h-2k-2)+y'(-23h+6k-10)=0

Se construye un sistema de ecuaciones para encontrar (h,k)

 6h-2k=2.........1
-2h+6k=10......2

Multiplicamos por un 3  a la ecuación 2 para eliminar h y de esa formar saber el valor de k.
Entonces...

       6h-2k=2
 +  3(-6h+18k=30)
------------------------
       0  + 16k= 32
              k=32/16
            k= 2

Sustituimos k=2 en la ecuación 1 para obtener el valor de h.

           6h-2(2)=2
           6h-4=2
           6h=6
           h= 6/6
           h= 1

                                 Coordenadas (h,k) son = (1 , 2)

Para encontrar la nueva ecuación, sustituir h=1  k=2

3x'^2+3h^2-2x'y'+2(h)(k)+3y`^2+3k^2-2h-10k+9=0

3x'^2+3(1)^2-2x'y'-2(1)(2)+3y`^2+3(2)^2-2(1)-10(2)+9=0

3x`^2+3-2x'y'-4+3y'^2+12-2-20+9=0

3x'^2-2x'y'+3y'^2-2=0 ⇐ Nueva ecuación.

Usando el teorema de rotacion:

x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ         y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ 

Sustituir x' , y' en la nueva ecuacion.

3(x''-cosθ-y''senθ)^2-2[(x''Cosθ-y''Senθ)(x''Senθ+y''Cosθ]+3(x''Senθ+y''Cosθ)^2-2=0

3[x''Cosθ)^2+2(x''Cosθ)(-y''Senθ)+(-ySenθ)^2]-2[x''^2SenθCosθ+x''y''Cos^2θ-x''y''Sen^2θ-y''^2SenθCosθ] +3[(x''Senθ)(y''Cosθ)+(y''Cosθ)^2)]-2=0

3x''^2Cos^2θ-6x''y''SenθCosθ+3y''^2Sen^2θ-2x''^2SenθCosθ-2x''y''Cos^2θ+2x''y''Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+6x''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ-2=0

3x''^2Cos^2θ-2x''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+3y''^2Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ+x''y''[-6SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0

3x''^2[Cos^2θ+Sen^2θ]-2x''^2SenθCosθ+3y''^[2Sen^2θCos^2θ+2y''^2]+2y''^2SenθCosθ+x''y''[-SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0

3x''^2-2x''^2SenθCosθ+3y''^2+2y''^2SenθCosθ+X''y''[-2Cos^2θ+2Sen^2θ]-2=0

-2Cos^2θ+2Sen^2θ=0
  2Sen^2θ=2Cos^2θ

Sen^2θ=Cos^2θ(1)

Sen^2θ
--------- = 1
Cos^2θ

Tan^2θ=1

Tanθ=√1

SUSTITUIMOS
3x''^2-2x''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)Cos(45º)=2

3x'^2-2x''^2(√2/2)(√2/2)+3y''^2+2y''^2(1/2)=2

3x''^2-x''^2+3y''^2+y''^2=2

2x''^2+4y''^2=2

x''^2        y''^2

------ +  ----- = 1   (Elipse)

   1           2

b^2=1
a^2=2
c=1

Concluimos con una gráfica.

A continuación unos vídeos para una mayor retroalimentacion, continuación del tema anterior.