LA RECTA

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Segmento Rectilíneo

Porción de una recta emprendida entre 2 de sus puntos donde "A" y "B" son llamados extremos del segmento. 
Donde "A" es origen y "B" punto final. De acuerdo a la dirección del segmento que se tenga.

AB=BA

-Si tenemos 2 puntos de un segmento A y B existe un punto C que los divide. 

HIPERBOLA

Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a 2 puntos fijos del plano, llamados focos es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los puntos.


PARTRES DE LA HIPERBOLA.



TEOREMA.
*ECUACION ORDINARIA DE LA HIPERBOLA

La ecuacion de la hiperbola de centro en el origen, eje focal, coincida con el eje "x" los focos F(0,c) , F'(-c , 0) . V(a.0) V'(-a,0) y A(0,b) A'(0, -b)

 

Si el el eje focal coincide con el eje "y" los focos F(0,c) , F'(0,-c) . V(0,a) V'(0,-a) y A(b,0) A'(-b,0)



a=Longitud del semieje transverso
b= Longitud del semieje conjugado
c= Distancia del centro a cada foco
 Donde

     c^2= a^2 + b^2

LL'= 2b^2/a         Lado Recto
VV'= 2a               Eje transversal
FF'= 2c                Eje focal
AA'= 2b               Eje conjugado

e= c/a

EJEMPLO:

Sean V(0,3) , V'(0,-3) vertices de una hiperbola y tiene como focos f(0,5) , f'(0,-5)

*PARALELO "Y"*

VV'= d = 2a = 6
d = 6
FF'= d = 2c= 10
10 = 2c
c= 5

b=√c^2 - a^2
 b = 4

LL' = 32/3
AA'= 8                          A(4,0) A'(-4,0)
e= 5/3                 

A continuacion un video para tu comodidad.

SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS.

  TEOREMA
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslacion y una rotacion, tomados en cualquier orden y las coordenadas de cualquier punto "P" referido a los sistemas originales y final son: (x,y) y (x'',y'') respectivamente por la cual las ecuaciones de transformacion del sistema original al nuevo sistema son:

Para esto se utiliza:

x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ         y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ 

Para esto se utilizara:
x' = (x'' Cos θ -y'' Sen θ) + h         y' = (x'' Sen θ+ y'' Cos θ) + k 

EJEMPLO 1

Por transformacion de coordenadas, simplificar la ecuacion 3x^2-2xy+3y^2-2x-10y+9=0.

Sabemos que:

x= x'+h       y = y'+k

Por lo tanto trasladamos para encontrar (h,k)

3(x'+h)^2-2(x'+h)(y'+k)+3(y'+k)^2-2(x'+h)-10(y'+k)+9=0

3(x'^2+2x'h+h?2)-2(x'y'+x'k+hy'+hk)+3(y'^2+2y'k+k^2-2x'-2h-10y'-10k)+9=0

3x'^2+6x'h+3h^2-2x'y'+2x'k+2hy'+2hk+3y'^2+6y'k+3k^2-2x'-2h-10y'-10k+9=0

3x'^2+3h^2-2x'y'+2hk+3y'^2+3k^2-2h-10k+9+x'(6h-2k-2)+y'(-23h+6k-10)=0

Se construye un sistema de ecuaciones para encontrar (h,k)

 6h-2k=2.........1
-2h+6k=10......2

Multiplicamos por un 3  a la ecuación 2 para eliminar h y de esa formar saber el valor de k.
Entonces...

       6h-2k=2
 +  3(-6h+18k=30)
------------------------
       0  + 16k= 32
              k=32/16
            k= 2

Sustituimos k=2 en la ecuación 1 para obtener el valor de h.

           6h-2(2)=2
           6h-4=2
           6h=6
           h= 6/6
           h= 1

                                 Coordenadas (h,k) son = (1 , 2)

Para encontrar la nueva ecuación, sustituir h=1  k=2

3x'^2+3h^2-2x'y'+2(h)(k)+3y`^2+3k^2-2h-10k+9=0

3x'^2+3(1)^2-2x'y'-2(1)(2)+3y`^2+3(2)^2-2(1)-10(2)+9=0

3x`^2+3-2x'y'-4+3y'^2+12-2-20+9=0

3x'^2-2x'y'+3y'^2-2=0 ⇐ Nueva ecuación.

Usando el teorema de rotacion:

x' = x'' Cos θ -y'' Sen θ         y' = x'' Sen θ+ y'' Cos θ 

Sustituir x' , y' en la nueva ecuacion.

3(x''-cosθ-y''senθ)^2-2[(x''Cosθ-y''Senθ)(x''Senθ+y''Cosθ]+3(x''Senθ+y''Cosθ)^2-2=0

3[x''Cosθ)^2+2(x''Cosθ)(-y''Senθ)+(-ySenθ)^2]-2[x''^2SenθCosθ+x''y''Cos^2θ-x''y''Sen^2θ-y''^2SenθCosθ] +3[(x''Senθ)(y''Cosθ)+(y''Cosθ)^2)]-2=0

3x''^2Cos^2θ-6x''y''SenθCosθ+3y''^2Sen^2θ-2x''^2SenθCosθ-2x''y''Cos^2θ+2x''y''Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+6x''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ-2=0

3x''^2Cos^2θ-2x''^2SenθCosθ+3x''^2Sen^2θ+3y''^2Sen^2θ+2y''^2SenθCosθ+3y''Cos^2θ+x''y''[-6SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0

3x''^2[Cos^2θ+Sen^2θ]-2x''^2SenθCosθ+3y''^[2Sen^2θCos^2θ+2y''^2]+2y''^2SenθCosθ+x''y''[-SenθCosθ-2Cos^2θ+2Sen^2θ+6SenθCosθ]-2=0

3x''^2-2x''^2SenθCosθ+3y''^2+2y''^2SenθCosθ+X''y''[-2Cos^2θ+2Sen^2θ]-2=0

-2Cos^2θ+2Sen^2θ=0
  2Sen^2θ=2Cos^2θ

Sen^2θ=Cos^2θ(1)

Sen^2θ
--------- = 1
Cos^2θ

Tan^2θ=1

Tanθ=√1

SUSTITUIMOS
3x''^2-2x''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)+3y''^2Sen(45º)Cos(45º)=2

3x'^2-2x''^2(√2/2)(√2/2)+3y''^2+2y''^2(1/2)=2

3x''^2-x''^2+3y''^2+y''^2=2

2x''^2+4y''^2=2

x''^2        y''^2

------ +  ----- = 1   (Elipse)

   1           2

b^2=1
a^2=2
c=1

Concluimos con una gráfica.

A continuación unos vídeos para una mayor retroalimentacion, continuación del tema anterior.

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA

La recta cuyas intersecciones son los ejes X y Y son "A" distinto de 0 (cero), A distinto de 0 y B distinto de 0 respectivamente, tienen por ecuacion la siguiente.

                                           X               Y
                                       -------    +    ------ = 1
                                            a                b

COROLARIO.
La condicion necesaria y suficiente para que 2 rectss sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea -1.


- EJEMPLO 1 :

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (-3 , 1) y es paralela a la recta determinada por los 2 puntos (0 , -2) y ( 5,2).

  y - y1= m (x - x1)


        y2 - y1         2 - (-2)        2 + 2         4
m= ----------- =  ----------- =  --------- =  ----
        x2 - x1          5 - 0              5            5


                 5
   y - 1 =  ---- (x + 3)
                 4

5y - 5 = 4x + 12

4x + 12 - 5y + 5 = 0

4x - 5y + 17 = 0


- EJEMPLO 2 :
Halla la ecuacion de la mediatriz del segmento (-2 , 1) y (3 , -5)

      x1 + x2                                                y1 + y2
x= -----------                                        y = ----------
           2                                                           2


       -2 + 3         1                                        1 - 5        -4
x=  --------- =  ----                                y=  ------- =   ----
           2             2                                           2            2

      -5 -1         6
m= ------- =  - ---
       3 + 2        5

               5            1
 y + 2 = ---- (x -  --- )
               6            2

y + 2 = 5x - 5
             -------
                12


12y + 24 = 5x - 5

5x - 5 - 12y - 24 = 0


5x - 12y -29 = 0

A continuacion estos videos muestran como pasar la ecuacion general a simetrica

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO.
Un punto "p" en el espacio tiene una y solamente una coordenada (x,y,z) relativa a un sistema coordenado rectangular especifico.




Ejemplo
Ubica los puntos.

P(-3,-5,3)
Q(3,4,-2)

Distancia entre 2 puntos en el espacio.

Teorema:Sea D la diustancia entre 2 puntos P(x1,y1,z1) y Q (x2,y2,z2) la distancia esta dada por la siguiente formula:


                                            d= √(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2

Division de un segmento.
Teorema:
Si P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2) son los extremos de 1 segmento, las coordenadas (x,y,z) le pertenecen a un punto "s" el cual divide al segmento PQ.

CONOCEMOS LA RAZON PERO NO CONOZCO EL PUNTO S(X,Y,Z)

X= X1+rX2          Y= Y1 + rY2            Z= Z1 + rZ2
     -----------                ------------                 ------------
        1 + R                       1 + r                          1 + r

CONOCEMOS S(X,Y,Z) PERO NO A "r"

r= X - X1              r= Y - Y1          r= Z - Z1

    ----------                 ---------              ----------

     X2 - X                   Y2 - Y                Z1 - Z

NOS DICE QUE S(X,Y,Z) ES PUNTO MEDIO, ENTONCES r = 1X= X1 + X2         Y = Y1 + Y2         Z= Z1 + Z2

     ------------              ------------             -----------
            2                             2                           2

EJEMPLO 1
Ubica los puntos en el espacio.

A(2,0,-1) B(4,-3,7) c(-5,-9,2) D(3,-2-4) E(0,-3,-9) F(-7,5,-6)

EJEMPLO 2

Traza el siguiente triangulo con coordenadas A(2,-1,3) B(-1,1,2) C(1,5,-2)

d1= √(-1-2)^2+(1--1)+(2-3)^2 = 8
d2= √(1--1)^2+(5-1)^2+(-2-2)^2 = 34
d3= √(2-1)^2+(-1-5)^2+(3-2)^2= 62

x=  1+ (-3)   2                     y = 5+ (-3) (-1)               z= -2+(-3)(3)
   ------- = 2.5                    -------------- = -1              ------------- = -5.5

        1+ (-3)                                   1+(-3)                          1 + (-3)

PUNTO (2.5,-1,-5.5)

COORDENADAS POLARES.

En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posición relativa con respecto a una recta fija y a un punto fijo de esa recta. La recta fija se llama eje polar, el punto fijo se llama "polo". El punto "p" es ubicado si solo si se conoce cA θ donde son conocidas como coordenadas polares de "P" primero se escribe el radio, vector y luego el angulo.


Donde: x= rCosθ  y= rSenθ

Donde OA= Eje polar
O= Polo
P= Punto Cualquiera
r= Longitud o radio vector
AOP = Forma del angulo
θ = Angulo polar, angulo vectorial o argumento de P

Para ello hacemos uso de lo siguiente:

Esto es importante, ya que debemos saber la ubicación de los ángulos.

EJEMPLO 1
Ubica los siguientes puntos en el eje polar.

P(4,π/6)                        Nota: El inverso de un angulo, lo calculamos como:
Q(6,2)                              θ= θ+π      ፀ= ፀ+180º
R(-7,75º)
S(5, 7π/4)

Transformar de coordenadas polares a rectangulares y viceversa.

TEOREMA
Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden respectivamente con el origen y la parte positiva del eje "x" de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de una de otra de estos 2 sistemas puede efectuarse por modo de las siguientes formulas.

x= r Cos ፀ                         r^2= x^2 + y^2           r= +-√x^2 + y^2                  Cos θ=+- x/ √ x^2 + y^2
y= r Senፀ                          ፀ= tan -1 y/x              Sen ፀ = +- y/ √x^2 + y^2


EJEMPLO 2
Hallar las coordenadas rectangulares de P, cuyas coordenadas polares son ( 4 , 120º )

Datos           Formula            Sustitucion                    Operacion          Resultado
r = 4             x= r Cos θ          x= 4 Cos (120º)            x= -2                     p(-2, 2√3)
θ = 120        y= r Sen θ           y= 4 Sen (120º)            y= 2√3


EJEMPLO 3 

Hallar la ecuacion polar del lugar geometrico cuya ecuacion es:

                                                        x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1= 0
Solucion r^2
Sabemos que:                                 r^2= x^2 + y^2
                                                       x= r Cos θ 
                                                       y= r Sen θ

Sustituimos la ecuacion Original:

                                                    r^2- 4(rCosθ)-2(Senθ)+1= 0

EJEMPLO 4
Transformar la ecuacion rectangular a polar.
                                     
                                                 2x^3+2y^2+2x-6y+3=0

Sabemos que:
                                                       r^2= x^2 + y^2
                                                       x= r Cos θ 
                                                       y= r Sen θ


                         2(rCosθ)^3+2(rSenθ)^2+2(rCosθ)-6(rCosθ)+3=0

Ejemplo 5
Transformar la ecuacion de rectangular a polar.

                                                       x^2 - y^2 = 9

(rCosθ)^2-(rSenθ)^2= 9
r^2(Cosθ)^2-r^2(Sen θ)^2= 9
r(Cosθ)^2 - r(Senθ)^2= 9
r(Cosθ)^2-(Senθ)^2= 9
                                                              9
                                       r= ------------------------------
                                                (Cosθ)^2 - (Senθ)^2



A continuación un vídeo, el cual explica de manera mas especifica los pasos en los ejemplos leídos anteriormente. 

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS DE COORDENADAS POLARES.

Sean P la coordenada (r1,θ1) y Q(r2, θ2) 2 puntos cuales quieran en un eje polar, su distancia esta dada por la siguiente formula

                                          d=√r1^2+r2^2-2(r1)(r2)Cos( θ1-θ2)

Ejemplo 1
Demostrar que las coordenadas siguientes son vertices de un triangulo.

A(3,π/6) = (3,30º)
B(7,π/3) = (7,60º)
C(3,π/2) = (3,90º)

d = AB = √9+49-2(3)(7)*Cos(30º-60º) = 4.65
d = BC = √49+9-2(7)(3)*Cos(60º-30º) = 4.65
d = CA = √9+9-2(3)(3)*Cos(90º-30º) = 3


EJEMPLO 2
A(0,90º)
 B(1,60º)
C(2,45º)
D(3,0º)

d = AB = √0+1-2(0)(1)*Cos(90º-60º)= 1
d = BC = √1+4-2(1)(2)*Cos(60º-45º)= 1.06
d = CD = √4+9-2(2)(3)*Cos(45º-0º)= 2.12
d = CA = √9+0-2(3)(0)*Cos(0º-90º) = 3






Ejemplo 3
A(1,60º)
B(√6,30º)
C(1,0º)

d = AB  = √1+3-2(1)(√3)*Cos(60º-30º) = 1
d = BC = √3+1-2(√3)(1)*Cos(30º-0º) = 1
d = CA = √1+1-2(1)(1)*Cos(0º-60º) = 1


A continuacion, los siguientes videos te podran brindar mayor proporcion de conocimientos sobre este tema.

ROTACIÓN DE EJES

Es una aplicacion de los puntos de un sistema de coordenadas cartesianas ( x , y ) sobre los puntos de un swgundo sistema de coordenadas cartesianas denominado (x' , y') en el que el origen se mantiene fijo. Los ejes X' y Y' se obtiene giradno los ejes (x,y) en sentido contrario.

  

Esto es denominado de la siguiente manera:

* x= x' Cos Ө - y' Sen Ө      * y= y' Cos Ө + x' Sen Ө

SOLUCION

* x'= x Cos Ө + y Sen Ө      * y'= y Cos Ө - x Sen Ө


Para convertir Grados a Radianes y  de Radianes a Grados:

                         π
                  Ө=  -- = 0º
                          8

Grados a Radianes                                          Radianes a Grados

- Sea Ө un angulo                                           - Sea x un radian
        π                                                                   180º
Ө ( ---- )  = radianes                                       x (  ---- ) = Өº
      180º                                                                  π


EJEMPLO 1

Sea x^2-y^2-9=0 una ecuación. Transformar mediante una rotación de 45º de sus originales. Encontrar la nueva ecuacion.
Solucion:

x= [x'Cos 45º] - [y'Sen 45º] = x'√2/2  - y√2/2

y= [x'Cos 45º] y [y'Sen 45º] = x'√2/2  + y√2/2


x= x'√2/2  - y√2/2       y= x'√2/2  + y√2/2

Sustituir x,y en ecuacion original.
(√2x'/2  - y√2y'/2)^2 - (√2x'/2  + √2y'/2)^2 - 9 = 0

[(√2x'/2)^2 -2 (√2x'/2)  -(√2y'/2)^2 +  (-√2y'/2)^2)] - [(√2y'/2)^2) + 2 (√2x'/2) (√2y'/2) + (√2y'/2)^2-9= 0

(x'/2^2 - x'y' + y'/2) - (x'/2 +x'y'+y'^2/2)-9=0

x'/2^2 - x'y' + y'/2 - x'/2 +x'y'+y'^2/2-9=0

-2x'y'-9= 0

2x'y'+9=0

y'= -9/2x'

                       x' 丨y'= -9/2x'
                    -2      2.25
                    -1      4.5
                     0       0
                     1      -4.5
                     2      -2.25
                     3      -1.5
                     4      -1.125

Para concluir se grafica pero en las nuevas coordenadas.


EJEMPLO 2

Transformar la ecuacion 2x'^2+√3xy+y^2=4 girando los ejes a un angulo π/6

SOLUCION:
Transformar π/6 a grados = 30º

x= (x'Cos30º-y'Sen30º) = x'√3/2 - y'/2

y= (x'Cos30º+y'Sen30º) = x'/2 + y'√3/2

Sustituimos X y Y en la ecuacion.

2(√3x'/2-y'^2/2)^2 + √3(x'√3/2-y'/2) (x'/2+y'√3/2)+(x'/2+√3y'/2)^2= 4

2[(√3x'/2)^2+2(√3/2x')(-y'/2)+(-y'/2)^2]+√3(√3x'^2/4+
3x'y'/4-x'y'/4-√3+y'^2+[(x'/2)+2(x'/2)(√3y'^2/2+(√3y'/2)^2]=4

2(3x'^2/4-√3x'y'/2+y'^2)+3x'^2/4+3√3x'y'/4-3√3x'y'-√3x'y'/4-3x'^2/4+x'^2/4+3y'^2/4=4

3x'^2/2-√x'y'+y'^2/2+3x'^2/4+3√3x'y'/4-√3x'y'/4-3y'^2/4+y'^2/4+√3x'y'/2+3y'^2/4=2

1/2(5x'^2+4'^2=4

5x'^2+y'^2=8

Se puede realizar una elipse con la anterior ecuación.
Por lo tanto:

5x^2/8+y^2/8=1

x       y
--- + --- = 1
5/8    8

a=2√2             LL'= 2b^2/a = 5√2/16            v(0,√2/2)      v'(0,-2√2)
b=√10/4         VV'=2a= 4√2                          f(0,√118/4)   f'(0,-√118/4
c= 118/4         FF'=2c= √118/2                     A(√10/4,0)    A'(-√10/4,0)
                       AA'= 2b= √1'/2
                       e=  c/a=     √59/8

Por ultimo. Se grafica en las nuevas coordenadas.

A continuacion un breve video, el complemento del video lo podran encontrar en el siguiente Tema.

TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS

Es la figura por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otro siguiendo una ley dada y tenemos el siguiente teorema.

TEOREMA

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O' (h,k) y si las coordenadas de cualquier punto "P" antes y después de la traslación (x,y) y la coordenada (x',y') respectivamente las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son las siguientes:                                                           

Donde P(x' + h , y' + k)

EJEMPLO 1

Transformar la ecuación:  x^3-3x^2-y^2+3x+4y-5=0.

Trasladando los ejes en el nuevo origen (1,2) O'(h,k)

Sabemos que:

x= x' + h    y= y' + k

Sustituir X y Y en la ecuación.

(y'+1)^3-3(x'+1)^2-(y'+2)^2+3(x'+1)+4(y'+2)-5=0

x'^3 + 3x'^2 + 3x' + 1-3x'^2 - 6x'-3-y'^2-4y'-4+3x'+3+4y'+8-5=0

x'^3-y'^2=0

y'=√x'^3                 x│y= √x'^3

                              1    1
                              2    2.8
                              3    5.1
                              4    8
                              5    11.1

Por ultimo paso, graficar la siguiente funcion.


EJEMPLO 2
Para una traslacion de los ejes coordenados transformar la ecuacion x^2-4y^2+6x+8y+1=0

x= x' + h    y= y' + k

(x'+h)^2-4(y'+k)^2+6(x'+h)+8(y'+k)+1=0

x^2+2(x')(h)+h^2-4(y'^2+2(y')(k)+k^2+6x'+6h+8y'+8k=0

x'^2+2x'+h+h^2-4y'^2+2y'k+k^2+6x'+6h+8y'+8k+1=0

x'(-2h+6)-y'(8k-8)+x'^2+h^2-4y'^2-4k^2+6h+8y'+8k+1=0

Despejar "h" y "k"

2h+6=0          8k-8=0
2h=-6             8k=8
h=-6/2            k=8/8

 h= -3             k= 1

O' ( -3 , 1 )

Sustituir h y k en la ecuacion
x'(2(-3)+6)-y'(8-8)+x'^2+(-3)^2-4y'^2-4+6(-3)+8+1=0

x'^2-4y'^2-4=0

x'^2-4y'^2=4

  x`^2            y'^2
-------    -    -------- = 1
    4                 1

Se concluye resolviendo la siguiente hipérbola.

EJEMPLO 3
Encuentra las nuevas coordenadas del punto (4, -2) si el origen se mueve a (-2 , 3)

Solucion
x= x' + h        x' = x-h
y= y'+k    ⇒  y' =y-k


x'= x-h                y'= y-k
x'= 4-(-2)            y'= -2-3         P ( 6 , -5 )
 x' = 6                 y = -5

A continuacion se vera de una gran explicacion con los siguientes videos.

Ecuacion de la elipse con centro (H , K)

Paralela  al eje "x" su ecuacion esta dada por:

     ( x - h ) ^2      (y - k ) ^2
    -----------     +  ------------- = 1             F ( h + c , k)
          a^2                 b^2                          F' ( h - c , k)

-Si el eje focal coincide con el eje "y" su ecuacion es :

                              ( x - h )^2        ( y - k )^2
                            -------------    +  ------------- = 1            F(h , k + c)
                                    b^2                  a^2                        F'(h , k - c)

Ejemplo:
Sean V(-3, 7) , V'( -3 , -1) y LL'= 2
Hallar ecuacion.

VV' = 2a = 8                     2a= 8             2b^2/ 4 = 2                         c√16 - 4 = 2√3
AA'= 2b = 4                        a= 4                b^2= 8/2= 4                          c= 2√3
FF'=                                                             b= 2
e=
                             F( -3, 3+2√3)                                   
                             F'(-3, 3-2√3)  absisa = -3

      C(-3,3)
                                      ( x + 3)^2        (y-3)^2
                                  ----------------   +   ------------ = 1
                                            4                        16

ELIPSE

Se mueve en su punto plano, de tal manera que la suma de sus distancias a 2 puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los 2 puntos.

Partes de la Elipse.




TEOREMA.
Cuando tenemos centro en el origen ( 0 , 0 )

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal, al eje "x", distancia focal igual a 2C y cantidad constante igual a 2.

Su ecuacion:

                                   X^2            Y^2
                               ----------  +  ---------- = 1
                                     a^2             b^2


Si el eje focal de la elipse coincide con el el "y"
La ecuacion es:

                        x^2       y^2
                    --------  + ------ = 1
                         b^2        a^2


"a" Longitud del semieje mayor
"b" Longitud del semieje menor
"a , b y c" estan ligados por la relacion

          a^2 = b^2 + c^2


-Longitud del lado recto


              LL' =    2b
                         -----
                            a


-Excentricidad "e"

                      c
            e =  ------
                      a

-Longitud del eje mayor
             
VV ' = 2A


-Longitud del eje menor

AA ' = 2b

Las coordenadas de los vertices  V y V' estan dadas por

"X" :

(a , 0) y (-a , 0)

"Y"

(0 , a) y ( 0 , -a)


-EJEMPLO: 
Una elipse tiene centro en el origen C(0,0) y su eje mayor coincide con el eje "y".
Uno de sus focos es (0,3) y tiene excentricidad igual a 1/2. Hallar las coordenadas del otro foco, la longitud del eje mayor, del eje menor, la ecuación de la elipse y la longitud del lado recto.

F(0,3)                                                                a^2 = b^2 + c^2
e = 1/2                                                             b^2= a^2 - c^2
FF' = (0,-3)                                                      b = √ 36 - 9
VV'= 2a= 12                                                   
AA'= 2b= 6√13                                               b= 3√3


  x^2       y^2              x^2       y^2
 ------  + ----- = 1 =  ------  +  ----- = 1
    b^2      a^2               27        36


LL' = 2b^2         2 (27)
          ------ =    --------- = 9
             a                6

                 C        3
1/2 = c =  --- =  ----                 a= 6                 c      a

Videos con mayores datos.

               

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE (H , K)

Para eje X                                                                         

( y - k )`2 = 4p (x - h )                                                         

Foco = ( x + p , y)

Directriz = x = x - p

P > 0

  P < 0
















Para eje Y

   ( x - h )^2 = 4p (y - k )

Foco= (x,y + p)

Directriz = y= y-p

P > 0




 FORMULAS GENERALES 
Paralelo "x"
 
               y^2 + Dx + Ex + F = 0

Paralelo "y"


              x^2 + Dx + Ex + F = 0



EJEMPLO:
Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice V(3 , 4) F( 3 , 2). Hallar la directriz, longitud del lado recto.

P 丨FV丨= 4 - 2 = 2         P = -2 < 0

( x - h )^2 = 4p (y - k )

( x - h )^2 = -8 (y - k )



Directriz                        Lado recto :
 y = y-p                             Como 4P = -8 = 8

y= 4 -( -2)
y = 6



Este vídeo contiene información que te ayudara demasiado.

PARABOLA

Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo de un plano que no pertenece a la recta.

PARTES DE LA PARABOLA.





TEOREMA

Para conseguir la directriz cuando el eje coincide en "x"

     x= -p
Para conseguir la directriz cuando el eje coincide en "y"

   y = -p



*Para ambos casos la longitud del lado recto esta dada por

                       丨 4P丨




























EJEMPLO: 

Una parabola cuyo vertice esta en el origen y su eje coincide con el eje y pasa por el punto (4 , -2)
hallar:
-Ecuacion
-Foco
-Directriz
-Lado Recto


                x^2= 4py

                 16 = 4 p (-2)
               
                       16 = -8 p
                  P = -2          P < 0

                                                    X^2 = 4 (-2) y ___ Ecuacion

                                                                     x^2 = -8 y

                                                       ( 0 , -2)______Foco
                                                        y = -2 ______ Directriz
                                                     丨 4P丨= 4 (-2) = 8______Lado Recto

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Tiene por ecuación la siguiente:

  (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^ 2     ⇒  *  x^2 + y^2 + Dx + Ex + F = 0 *


EJEMPLO: 

Reducir las 3 ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia halle su centro y su radio.

A) 2x^2 + 2y^2 - 10x + 6y -15 = 0
B) 36x^2+ 36y^2 + 48x - 108y + 97 = 0
C) X^2 + Y^2 -8x + 6y + 29 = 0

A) 2x^2 + 2y^2 - 10x + 6y -15 = 0

2 * (2x^2 + 2y^2 - 10x + 6y -15) = 0

x2 + y2 - 5x + 3y = 15/2

[ x2 - 5x + (5/2)^2 ] + [ y2 + 3y + (3/2)^2 ] = 15/2 + 25/4 + 9/4 = 16

(x - 5/2)`2 + (y + (3/2)^2 = 16             C( 5/2 , -3/2)
                                                             r= 4

A continuación unos cuantos vídeos para su comodidad.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA.

Lugar geometrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se coserva siempre a una distancia constante de 1 punto fijo a ese plano, (centro de la circunferencia), y la constante se llama Radio.

TEOREMA
La circunferencia cuyo centro es el punto (h , k) y cuyo radio es la constante "r" tiene por ecuacion la siguiente:

                                                  * (x - h)^2 + (y - k)^2 *


Corolario.
La circunferencia de centro en el origen y radio "R" tienen por ecuacion a:

                                                  * x^2 + y^2 = r^2 *


EJEMPLO:
                                                                                             
Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en ( 16/5 , 4/5)   y pasa por el punto (1 , -1)


r = 丨CP丨= √ (X1 - X2) + (Y1 - Y2)
                  = √(16/5 - 1)^2 + ( 4/5 + 1)
                  =√ 202 / 5   +   202/25
               

                   ( X - 16/5) ^2  + (Y - 4/5)^2 = 202/25^2

A continuacion una breve explicacion en el video.

LINEA RECTA, ECUACION Y ECUACION GENERAL

Lugar geometrico de los puntos tales que son diferentes A(X1 , Y1)  B(X2 , Y2) y el valor de la pendiente "m" siempre es una constante.

TEOREMA

La recta que pasa por el punto P(X1 , Y1) y tiene pendiente "m", tiene por ecuación la siguiente.

                                          y - y1 = m(x - x1)

- EJEMPLO:  

La recta que pasa por el punto (4, -1) tiene pendiente m = -1

               y - (-1) = -1 (x - 4)
                    y +1 = -x +4
                y + 1 + x -4 = 0
                   
                     x + y - 3 = 0

TEOREMA La recta que pasa por 2 puntos dados A(X1 , Y1) , B(X2 , Y2) tiene por ecuacion
                                                           
                                                               y2 - y1
                                               y - y1 = ------------- = (x , x1)
                                                                x2 - x1

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La ecuacion de una recta cualquiera en el plano coordenado de la forma lineal.

                                             Ax + By + C = 0

Donde A o B debe ser diferente a cero y C puede o no ser igual a cero.

EJEMPLO:

Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuacion general de una recta para que pase por los 2 puntos (-1 , 4) y (3, -2).
  Ax + By + C = 0

(-1 , 4)
   
-A + 4 B + C = 0 ............. 1

(3 , -2)
 
3A - 2B + C = 0 ................2


Paso 1                                                        Paso 2 Despejar A
       -A + 4B + C = 0                                        -  3
   2( 3A - 2B + C = 0)                                 A= -----  C                   
                                                                           5             
     -A + 4B+ C = 0                                                                         
     6A - 4B + 2C= 0                                                                       
------------------------------
      5A + 3C = 0 

Paso 3. Sustituimos 1 en A
 3
---- C + 4B + C = 0

 5  

           -3                               -8       
          -----  C   -  C              -----
             5                                5                  -8                       -2
B= --------------------- =   ------------- =    ------ C =   B =  ------- C

                   4                          4                   20                      5 

                                            ------

                                               1

   -3             2
( ---- ) X (----- C ) 4 + C = 0
    5              5

 Diviendo entre C

      -3              2
-5(----- X   -  ---- Y + 1 = 0 )
       5               5

   Multiplicado por 5

3X + 2Y -5 = 0 

El video nos comparte una explicacion mas compleja.
 

PENDIENTE DE UNA RECTA Y ANGULO FORMADO POR 2 RECTAS

Si A (X1 , Y1) y B ( X2 , Y2) su pendiente se calcula como:

                                                      Y2 - Y1
                                              m= --------------
                                                      X2 - X1


- EJEMPLO: 
A(1 , 6) , B(5, -2) Hallar la pendiente
         
                -2 -6
           m = ------------ =  -2
                      5 - 1


TEOREMA: 
Sea ፀ un angulo formado por 2 rectas, este se calcula:

                                             m2 - m1
                          Tan (ፀ) = ---------------
                                            1 + (m1 . m2)


-Existe una gran variedad de ejercicios en este caso, a continuación, estarán disponibles para que puedan acudir a ellos en cualquier momento.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

Si un punto "A" con coordenadas (X1 , Y2)  y BX - X2 Y2. Son los extremos de un segmento y sea C un punto que los divide en una razón dada "R". El valor de sus coordenadas del punto "C" se calculan de la siguiente manera.


A(X1 , Y1) , B(X2 , Y2) , C (X ,Y) que los divide.


 
       
   

PARA X:








PARA Y: 

-EJEMPLO 1: 
A(-4,2)  B(4,6). Puntos de un extremo y un punto W(X , Y) que divide con una razón de -3. Hallar el punto W

Teniendo las formulas anteriores, para X tenemos que:

       -4 (-3) (4)           -4 - 12         -16
x= --------------- =    -----------  =   -------- =  8
        1 + (-3)               -2               -2


Para Y:

        2 + (-3) 6           2 - 18         -16
y= --------------- =    ----------- =  ---------- = 8
         1 + (-3)               -2                -2
   


                              W = (8 , 8)



- EJEMPLO 2:

Los puntos extremos de 1 segmento son A(2,4) y B(8,4). Hallar el punto C(x , y) que divide a este segmento en 2 partes, tales que su razon es -2.

     Teniendo las formulas anteriores, para X tenemos que:

       2 + (-2) 8          2 - 16          -14
 x=  -------------- =  ---------- = -------- = 14
         1 + (-2)           -1              -1


Para Y:
   
       4 + (-2) 4          4 + 8           12
y=  -------------- =  ---------- =  ---------- =  -12
        1 + (-2)             -1                -1



A continuación el siguiente vídeo representa los pasos a seguir de una forma mas compleja.

SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO

Un sistema coordenado rectangular consta de 2 rectas dirigidas x',x - y',y llamadas coordenadas perpendiculares entre si.
 
 DONDE:

• X'X es llamado eje X o eje de las abscisa.
• Y'Y es llamado eje Y o eje de las coordenadas.

Este sistema coordenado esta dividido en cuatro cuadrantes.

Un punto P en el sistema coordenado esta formado por uno y solamente un par de coordenadas.

                                                                P(X1 , Y1)

TEOREMA: 
La distancia entre 2 puntos P1(X1 , Y1)   P2(Y1 , Y2) esta dada por:
 
                                               
                                                      

EJEMPLO:

Calcular la distancia de los siguientes puntos (-3,-1) , (0,3) , (3,4)

AB d= √ (0-(-3)^2 + (3-(-1)^2            BC d= √(3-0)^2 + (4-3)^2          AC d= √(3-(-3)^2 + (4-(-1)^2
         =√9 + 16                                             = √9 + 1                                      = √36  +  25
         =√25                                                   = √ 10                                          =√61
         = 5                                                      = 3.1                                            = 7.81

EJEMPLO CON MAYOR DETALLE EN EL VÍDEO